Der er et ordsprog blandt matematikere, som lyder: "De naturlige tal er lavet af Gud, alt andet er skabt af mennesket". Hvad, der menes med dette, er, at de forskellige tal er bygget op af trin, hvoraf det første trin er de naturlige tal N. Meningen med de naturlige tal er klar - de "tæller" ting. Man kan lægge naturlige tal sammen, gange dem sammen og sommetider trække dem fra hinanden. At man kun sommetider kan trække dem fra hinanden kan ordnes, og prisen, vi må betale, er at indføre negative heltal, hvilket fører os til de hele tal Z. Heltalene er dog stadig ikke altid nok, da vi kun sommetider kan dele et givet heltal med et andet og igen få et heltal. For at fjerne denne restriktion kan man opbygge de rationale tal Q udfra heltalene.

De rationale tal er et meget pænt talsystem - faktisk udgør de et "legeme". Hvert punkt i de rationale tal kan associeres med et punkt på en linje, hvor to punkter repræsenterer 0 og 1. Det modsatte udsagn er dog ikke sandt, for der er punkter på linjen, som ikke er associerede med noget som helst rationalt tal. For at ordne dette er vi igen nødt til at generalisere, og denne gang kommer vi til de reelle tal R. Nu svarer ethvert tal på linjen til et reelt tal og omvendt. Men hvis man er kræsen nok, er der stadig problemer med de reelle tal. Man kan nemt skrive ligninger ned, som ikke har reelle løsninger, tag fx. x² = -1.

Igen kan man generalisere for at afhjælpe denne mangel, hvilket leder os til de komplekse tal C; dette sker ved at tillade "imaginære tal". Vi vil give en konstruktion af de komplekse tal og vise, hvordan man kan tænke på disse tal geometrisk. Desuden vil vi diskutere den magiske Euler formel. Denne formel viser essentielt al trigonometri, fx, kan additionsformlerne forstås som specialtilfælde af multiplikationsreglen for komplekse tal.