Her vil vi se på Dehn-Thurstons parametrisering af kurver på flader. En flade er en delmængde af rummet, der i alle punkter ligner den almindelige to-dimensionale plan, når man zoomer langt nok ind, som fx en kugleoverflade. Vi vil betragte flader, som er orienterbare; dvs. man kan bestemme sig for en inderside og en yderside af fladen. En kurve på en flade kan betragtes som et elastik, man lempeligt må flytte rundt på. Som eksempel kan man betragte fladen, der ligner et par bukser. Vi vil se at kurver på et par bukser kan parametriseres ved tripler af tal. Lukkede flader, der ikke har nogen rand, kan karakteriseres ved, hvor mange huller der er i dem. Betragt fx forskellen på en badebold og en badering. Vi vil se, hvordan man kan dele lukkede flader ind i bukser og på den måde parametrisere alle mulige klasser af kurver.